KALKULUS 1 Turunan

MAKALAH

TURUNAN

Diajukan sebagai salah satu tugas kelompok  pada Mata Kuliah

KALKULUS 1

Dosen Disusun Oleh NIM SEMESTER

: R. Eko Santoso, MT : Elis Fitriani : 14102032011CA : II

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

SERANG - BANTEN

TAHUN AKADEMIK 2014/2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “TURUNAN” Makalah ini berisikan tentang Penjelasan singkat tentang turunan, mulai dari pengertian, rumus, contoh soal serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Saya mengharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang materi turunan. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu saya harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

Serang, 20 Juni 2015 Penyusun

 DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.......................................................................................... i

DAFTAR ISI........................................................................................................ ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................... I

1.1    Latar Belakag Masala................................................................................ 1

1.2    Rumusan Masalah...................................................................................   1

1.3    Tujuan Penulisan.....................................................................................   2

BAB II TURUNAN............................................................................................ 3

2.1  Pengertian Turunan................................................................................... 3

2.2  Rumus-rumus Turunan Fungsi Matematika ............................................. 5  

2.3  Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari................................ 7

BAB III PENUTUP............................................................................................ 12

3.1  Kesimpulan................................................................................................ 12

3.2  Saran.......................................................................................................... 12

DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 13

 BAB I

PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang Masalah

Seiring dengan perkembangan zaman, pengetahuan teerus berkembang sehingga  lebih kompleks sehingga memicu para pelajar terutama mahasiswa untuk lebih meningkatkan ilmu pengetahuan dan teknologinya. Matematika merupakan Ilmu pasti, yang tidak berubah dari dahulu hingga sampai saat ini, di kembangkan mulai dari tokoh Islam seperti Al-khawarizmi hingga Ilmuwan Barat Seperti J.Kapiler, S. Descartes dan lain sebagainya.

Materi turunan dalam matematika sudah dipelajari sejak jenjang SLTA hanya saja mayoritas orang banyak yang kurang memahami beberapa materi matematika termasuk turunan.

Meski jenjang sudah menginjak bangku perkuliahan namun kita tidaklupa sebagai manusia yang sifatnya pelupa. Jadi makalah ini adalah sebagai pengingat materi masa SLTA, terutama bagi penulis dan umumnya bagi rekan-rekan.

1.2    Rumusan Masalah

a.       Apa itu turunan?

b.      Bagaimana rumus turunan?

c.       Apa hubungan antara limit dan turunan?

d.      Apa kegunaan belajar turunan?

e.       Bagamana penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari?

1.3    Tujuan Penulisan

Dari tujuan yang diharapkan penulis dalam makalah ini, dapat ditarik beberapa manfaat baik untuk pembaca maupun penulis sendiri, yaitu :

Bagi Pembaca

Jika penulisan makalah ini dirasakan dapat menambah pengetahuan tentang diferensial (turunan), diharapkan pembaca dapat  lebih memahami isi dari makalah ini.  

Bagi Penulis

Penulisan karya tulis ini mejadi suatu pembelajaran, sebagai pengetahuan saya untuk lebih mengetahui ttentang materi ini.

BAB II

TURUNAN

2.1    Pengertian Turunan

Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ahli matematika dan fisika bangsa ingris dan Gottifred Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit^.Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan fungsi ƒ adalah fungsi lain ƒ’ (dibaca “ƒ aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

ƒ’(c) =

asalkan limit ini ada.

Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa ƒ terdiferensialkan (terturunkan) di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialan; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus difensial.

Contoh yang membantu menjelaskan.

Jika ƒ(x) = x³ + 7x. Cari ƒ’(c).

Penyelesaian

ƒ’(c) =

 

                   

 

                    3c² + 7

a.       Turunan Dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah:

1.      f(x), maka f'(x) = 0

2.      Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

3.      Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}

4.      Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)

5.      Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

b.      Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1.     ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

2.     ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)

3.     (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

4.     ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)²)

c.       Turunan Fungsi Trigonometri

1.     d/dx ( sin x ) = cos x

2.     d/dx ( cos x ) = - sin x

3.     d/dx ( tan x ) = sec² x

4.     d/dx ( cot x ) = - csc² x

5.     d/dx ( sec x ) = sec x tan x

6.     d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

d.      Turunan Fungsi Invers

       (f^-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy

2.2  Rumus-rumus Turunan Fungsi Matematika

          Untuk memudahkan belajar, berikut rumus hitung rangkumkan berbagai rumus rumus turunan.

a.         Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real, maka dy/dx = cn xn-1

Contoh :

y = 2 x 4 maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3

kadang ada soal yang memakai pangkat pecahan atau akar

y =  = 2 x^1/2 turunannya adalah  ( = x- =

b.         Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0

Contoh Jika y = 6  maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

c.         Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f’(x) + g’(x)

Contoh :

y = x³ + 2 x² maka y’ = 3 x² + 4x

y = 2x⁵ + 6 maka y’ = 10x⁴ + 0 = 10x⁴

d.        Rumus 4 : Turunan perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f’(x).g(x) + g’(x).f(x)

contoh :

y = x² (x² + 2) maka

f(x) = x²

f’(x) = 2x

g(x) = x² + 2

g’(x) = 2x

Kita masukan ke rumus y’ = f’(x).g(x) + g’(x). F(x)

y = 2x (x² + 2) + 2x.x²

y = 4x³ + 4x

e.         Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

Jika y =  maka  =

contoh :

y =

ƒ(x) = x maka ƒ’(x) = 1

g(x) = maka g’(x) = 2x

 =  =

f.       Rumus 6 : Jika kamu mempunyai y = [ƒ(x)] maka turunannya adalah n [f(x)]n-1.f(x)

Contoh :

g.      Rumus 7 : Turuntan logaritma Natural misal y = 1n f(x) maka turunannya

Contoh :

h.    Rumus 8 : ef(x) maka  = ef(x).f(x)

Contoh :

y = e2x + 1

f(x) = 2x + 1
f’(x) =2
maka f’ = e2x + 1.2 = 2e2 + `

i.        Rumus 9 : Turunan trigonometri Sin

Jika y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x).f’(x)

Contoh :

y = sin (x² + 1) maka

y’ = cos (x² + 1).2x.cos (x² +1)

j.        Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos

Jika y = cos f(x) maka turunannya y’ = -sin f(x).f(x)

Contoh :

y = cos (2x+1) maka tUrunannya

y’ = -sin (2x+1) = - sin (2x+1)

Rumus turunan kedua
rumus turunan ke dua sama dengan turunan dari turuan pertama (turunkan sebanyak dua kali).

Contoh :

Rumus turunan Kedua Dari x³ + 4x²

Turunan pertama : 3x² + 8x

Turunan kedua : 6x + 8

2.3  Penggunaan Turunan dalam Kehidupan Sehari-Hari

Topik ini merupakan topik terakhir dari materi turunan. Pada topik ini, kita akan belajar bagaimana memodelkan dan menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan turunan. Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.

Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi sering disebut dengan nilai ekstrim. Nilai ekstrim dari fungsi y=f(x) diperoleh untuk x yang memenuhi persamaan f′(x)=0. Jikax=a adalah nilai xyang memenuhi persamaan f′(x)=0, maka (a,f(a)) adalah titik ekstrim fungsi y=f(x) dan f(a)adalah nilai ekstrim fungsi y=f(x).
Jenis nilai ekstrim fungsi dapat ditentukan sebagai berikut.

Nilai ekstrim ini akan merupakan nilai maksimum jika:

f ‘ (x) = 0 dan f “ (x) < 0.

Nilai ekstrim akan merupakan nilai minimum jika:

f ‘(x) = 0 dan f “ (x) > 0.

Contoh 1

Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api h = f (t)

(dalam meter) padat sekon dimodelkan dengan f (t) = 16t2 + 200 t + 4.

Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon.

Penyelesaian:

Diketahui ketinggian kembang api saat t sekon adalah: f (t) = 16t2 + 200 t + 4

Kecepatan luncur kembang api diperoleh turunan pertama dari fungsi

ketinggian (posisi) kembang api sebagai berikut :

f ‘ (t) = 32t+ 200 ⇔f ‘ (3) = 32(3) +200 = 296

Jadi, kecepatan luncur kembang api saat t = 3 sekon adalah 296 m/s.

Contoh 2

Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan biaya x³ –

600x²  + 112.500 x rupiah. Berapa unit barang yang harus diproduksi setiap

harinya supaya biaya produksi menjadi minimal?

Penyelesaian:

Misalkan biaya produksi per hari adalah p(x), maka biaya produksi akan

minimum untuk nilai x yang memenuhi persamaan p′(x)=0 dan p′′(x)>0.

p′(x)=0

⇔3x² −1.200x+112.500=0

⇔x²−400x+37.500=0

⇔(x−150)(x−250)=0

⇔x=150 atau x=250

Oleh karena p′′(x)=6x−1.200 dan p′′(250)=6(250)−1.200=300>0, maka

jumlah barang yang harus diproduksi tiap harinya agar biaya minimum adalah

250 unit.

Contoh 3

Sebuah bola tenis ditembakkan ke atas. Jika tinggi bola tenis (cm) dari

permukaan tanah setelah t detik dirumuskan dengan h(t)=120t−5t2, maka

tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis tersebut.

Penyelesaian:

Bola tenis akan mencapai ketinggian maksimum dari permukaan tanah

untuk t yang memenuhih′(t)=0 dan h”(t)<0

h′(t)=0

⇔120−10t=0

⇔10t=120

⇔t=12

Oleh karena h “ (x) = -10 < 0, maka bola tenis akan mencapai ketinggian

maksimum dari permukaan tanah. Selanjutnya dengan mensubtitusikan

t=12 ke h(t) diperoleh

h(12)=120(12)−5(12)2=720.

Dengan demikian, tinggi maksimum yang dapat dicapai bola tenis adalah 720

cm.

Contoh 4

Sebuah perusahaan peralatan dapur memproduksi x unit barang dengan

biaya (x²−70x+250) ribu rupah. Jika pendapatan setelah semua barang habis

terjual adalah 100x ribu rupiah, maka hitung keuntungan maksimum yang

dapat diperoleh perusahaan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan keuntungan perusahaan adalah f(x), sehingga:

f(x)= pendapatan–biaya.produksi

⇔f(x)=100x−(x²−70x+250)

⇔f(x)=−x²+170x−250

Keuntungan maksimum akan diperoleh untuk nilai x yang

memenuhi f′(x)=0 dan f”(x)<0

f′(x)=0

⇔−2x+170=0

⇔2x=170

⇔x=85

Oleh karena f “ (x) = -2 < 0, maka keuntungan yang diperoleh adalah

maksimum.

Besar keuntungan pada saat x=85 adalah f(85)=−852−70(85)+250=175.

Jadi, keuntungan maksimum perusahaan adalah 175.000 rupiah.

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

     Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit^.Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

     dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan turunan. Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.

3.2  Saran

Harapan penulis semoga apa yang ada di dalam makalah ini bisa banyak diambil manfaatnya khususnya bagi penulis dan umumnya bagi pembaca. Alangkah baiknya jikalau kita sebagai calon guru materi ini..

DAFTA PUSTAKA

Edwin J. Purcell. Dale Varberg.2013. Kalkulus dan Geometri Analitik jilid 1. Erlangga

Yuliantun Aisyah, S.Pd. Deni Dwi Utami S.Si.2013. Modul Matematika.Solo: CV Indonesia Jaya

http://rumushitung.com/2014/01/14/rumus-turunan-diferensial-matematika/

http://www.rumus.web.id/matematika/rumus-turunan-matematika/

http://klikbelajar.com/pelajaran-matematika/pengertian-dasar-dan-paling-simple-differensial-atau-turunan-dalam-matematika/

https://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/01/soal-dan-pembahasan-turunan-fungsi-dan-aplikasinya-1-5/